Вопрос 12. Выпуклость и вогнутость.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ (принадлеж (a; b)) и проведем через точку M₀ касательную. Её уравнение

y=f’(x₀)(x-x_­0)+f(x₀)

Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ординаты касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим (y с чёрточкой) за ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда (y с чёрточкой) = f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀). Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет y-(y с ч)=f(x)- f’(x₀)(x-x_­0)-f(x₀)

Разность f(x)-f(x₀) преобразуем по т.Лагранжа

f(x)-f(x₀)=f’(c)(x-x₀), с между x и x₀

Таким образом

y-y_{с чёрт}= f’(c)(x-x₀)- f’(x₀)(x-x_­0) = (f’(c)-f’(x₀))(x=x₀)

к f’(c)-f’(x₀) – снова т.Лагранжа

y-y_{с чёрт}=f’’(c₁)(c-x₀)(x-x₀), c₁ между с и x₀

По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно,   (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому  y-y_{с чёрт}.<0

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь y-y_{с чёрт}.<0

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ на (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точки перегиба графика функции.

Точка х₀ называется точкой перегиба графика у=f(x₀), если слева от этой точки функция явл-ся выпуклой, а справа вогнутой, или наоборот. т.x₀ явл-ся точкой перегиба, если в ней f’’(x₀)=0 или не существует, либо при переходе через х₀ вторая производная меняет знак.