Вопрос 40. Функции нескольких переменных. Основные определения и свойства.

Переменная z из области Z называется функцией независимых переменных x и y на множестве M, если каждой паре значений (x, y) из M – по некоторому правилу или закону – ставится в соответствие одно определённое значение z (оно может быть не однозначным). M – область определения функции; (x, y) – аргументы.

Примеры функций двух переменных:

1)  , 2) z = x²+y², 3)  ,

4)  , 5) z = arcsin (x/a) + arcsin (y/b).

Классический математический анализ рассматривает действительные числа (функции). Это условие для переменной z и определяетM, область существования функции z = f (x, y).

Принято на плоскости  (x, y) область M определять геометрическими фигурами, координаты точек внутри которых удовлетворяют функции z = f (x, y). Тогда функции 1, 2 (из примеров) определены на всей плоскости (x, y); 3– на круге R=1 (из условия  ), включая границу; 4 – на круге R=1, исключая границу (из условия ); 5 – в квадрате   включая границы.

Функция одной переменной y = f (x) геометрически иллюстрировалась своим графиком. Подобную интерпретацию можно дать и для функции двух переменных z = f (x, y). Если взять в пространстве прямоугольную систему координат с осями  (x, y, z), а на плоскости (x, y)- область M и в каждой точке M (x, y) восстановить перпендикуляр к плоскости (x, y), отложив на нём значения z = f(x, y), то геометрическим местом полученных таким способом точек будет некоторая поверхность. В свою очередь, равенство z = f(x, y) называется уравнением поверхности.

В случае функций трёх переменных (например, распределение температуры в некотором объёме  T = f (x, y, z) можно дать геометрическое толкование M(x, y, z) как точек трёхмерного пространства, а множество таких точек с координатами (x_i,   y_j, x_k ) – как часть пространства, или геометрически – тело. Но при n>3 возможности непосредственной геометрической интерпретации уже нет. При изучении функций многих переменных (n>3) вводят понятие n– мерного пространства.

В дальнейшем изложении все конкретные примеры мы будем рассматривать для случая n=2;3, но общие определения давать для функций n переменных. Поэтому, прежде чем приступить к изучению проблем исследования функций многих переменных, дадим определение понятию “n – мерное пространство”.

Назовём n – мерной “точкой” систему из n вещественных чисел: M (x₁,...,x_n). Сами числа x₁,...,x_n являются координатами этой точкиM. Множество всех n – мерных “точек” составляет n – мерное пространство, которое иногда называют арифметическим.

Точка   будет внутренней точкой множества   в n – мерном пространстве, если она принадлежит множеству   вместе с некоторой, достаточно малой её окрестностью.

Для открытого прямоугольника (n=2) a₁ < x₁ < b₁; a₂ < x₂ < b₂, а для сферы (n=3)  . Открытая область вместе с “границей” называется замкнутой. Для примеров (n=2; n=3) получим:  .

В заключение этого раздела рассмотрим ещё один способ представления функций двух переменных.

Выше говорилось, что выражение z = f (x, y) описывает некоторую поверхность. Если задать z = c (c - константа), то уравнение c = f(x, y) опишет некоторую линию, лежащую в плоскости, параллельной XOY и отстоящей от неё на расстоянии c, полученную в результате пересечения поверхности z = f (x, y) с указанной плоскостью.

Если для набора констант c_i построить семейство функций c_i = f (x,y), которые называются линиями уровня, спроецировать их все на плоскость XOY, то мы получим представление поверхности с помощью линий уровня.

Такой способ представления поверхности широко используется при отображении гор на топографических картах. При этом у линий уровня проставляются численные значения c_i, на которых произведено сечение.

Пример. Представление поверхности линиями уровня, параллельными плоскости XY: Если представить   , то линии уровня (в данном случае) – концентрические окружности. c₁=10, R₁=0;    c₂=6, R₂=2;   c₃=1, R₃=3.