Вопрос14 Первообразная функция. Структура множества первообразных функций

Первообразная и её свойства.

Функция F(x) называется первообразной для f(x) на интервале (a,b) если F (x) дифференцируема на (a,b) и F‘(x)=f(x).

§ Первообразная суммы равна сумме первообразных

§ Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

§ У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Определение. Функция F(x) называется первообраз­ной функцией (или просто первообр

азной) для функции f(x) на интервале (а,b), если в любой точке х интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет про­изводную F'(x), равную f(x).

Замечание. Аналогично определяется первообразная для функции f(x) на бесконечной прямой и на открытой полу­прямой

Примеры. 1) Функция является перво-

образной для функции на интервале (—1,+1),

ибо в любой точке х этого интервала

2. Функция F(x) = sinx является первообразной для функ­ции f(x) = cos х на бесконечной прямой (—оо, оо), ибо в каждой точке х бесконечной прямой (sin x)' = cos χ.

3. Функция F(x) =lnx является первообразной для функции

f (x) = 1/x на открытой полупрямой х > 0, ибо в каждой точке x этой полупрямой

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на ин­тервале (а,b), то, очевидно, и функция F(x) + С, где С — лю­бая постоянная, является первообразной для функции f(x) на интервале (а,b).

Естественно, возникает вопрос, как связаны между собой раз­личные первообразные для одной и той же функции f(x). Спра­ведлива следующая основная теорема.

Теорема 6.1. Если F₁{x) и F₂{x) — любые первообразные для функции f(x) на интервале (а, b), то всюду на этом интервале F₁ (х) — F₂ (х) = С, где С — некоторая постоянная.

Другими словами, две любые первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную.

Доказательство. Положим Ф(х) = F₁(x)—F₂(x). Так как каждая из функций F₁ (χ) и F₂ (χ) дифференцируема на ин­тервале (a, b), то в силу теоремы 5.3 и функция Ф(х) дифферен­цируема на интервале (а,b), причем всюду на этом интервале Ф'(х) = F₁^/{x) - F₂^/(x) = f(x) - f(x) = 0.

В § 10 гл. 8 методами, не использующими результатов этой главы ¹), будет доказана теорема 8.13 следующего содержания: если функция Ф(х) дифференцируема всюду на интервале (а, Ь) и если всюду на этом интервале Ф'(х) = 0, то функция Ф(х) является постоянной на интервале (а, b).

Из этой теоремы получим, что Ф(х) = F₁(x) — F₂(x)= С = = const, что и требовалось доказать.

Следствие. Если F(x) — одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (а,b), то любая первооб­разная Ф(х) для функции f{x) на интервале (а,b) имеет вид Ф(х) — F(x) + С, где С — некоторая постоянная.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале [a,b] (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. . Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x). Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим. Свойства первообразной. 1.Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: ). 2.Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F₁(x) может быть представлена в виде F₁(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция. Док-во. Так как функции F(x) и F₁(x) - первообразные для f(x), то . 3.Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx. Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.