Вопрос 41. Производные от функций многих переменных.

Для упрощения изложения дальнейшие выкладки будем проводить для n=3 (заметим, что все выводы справедливы и для произвольного n). Пусть в некоторой (открытой) области D имеется функция U(x,y, z). Зададим постоянные значения x₀, y₀ и будем изменять только x(в окрестности точки x₀). Дадим приращение  , тогда функция получит изменение которое называется частным приращением функции по x. По определению, производная представляет собой предел отношений

Это частная производная функции f (x, y, z) по переменной x в точке (x₀, y₀, z₀). Частную производную обозначают одним из символов:

Аналогично получаются частные производные по другим независимым переменным. В обозначениях частных производных всегда указывается переменная, по которой вычисляется производная. Само вычисление частной производной выполняется точно по тем же правилам, что и для функций одной переменной, но при этом другие переменные принимаются за константы.

Примеры вычисления частных производных от функций 2-х и 3-х переменных:

1) 

2)