Вопрос11 Точки экстремума функции. Необходимые условия экстремума.

Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (x(x0-;x0+)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).

Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно. Этой теореме соответствует следующий геометрический факт: если в точках макс и мин ф-я имеет производную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках || оси ох. СЛЕДСТВИЕ: если при всех рассматриваемых значениях аргумента х ф-я имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при кот производная обращается в 0. Экстремум м.б. там, где производной не существует. Однако не при всяком значении, при кот производная обращается в 0, обязательно существует экстремум. Значение аргументов, при кот производная обращается в 0 или терпит разрыв, наз-ся критическими точками.

Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-;x0+) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f’(c)>0*(x0-x)>0, c(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f ’(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-;x0+) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.