Вопрос 42. Исследование функций двух независимых переменных на экстремум

Определение.  Пусть  функция  f (х, у)  определена в точке  M₀ (x₀, y₀)  и  в некоторой её окрестности. Функция  f (х, у)   имеет максимум в точке(x₀, y₀), если f  (x₀, y₀) >   f (х, у) для всех точек(х, у). из некоторой окрестности точки(x₀, y₀).    Если же f  (x₀, y₀) <  f (х, у)., то функция f (х, у) имеет минимум в точке M₀ (x₀, y₀). Точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения, называются экстремальными.

        Аналогично вводятся понятия максимума и минимума для функций трёх и более аргументов. Мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных. В случае необходимости весь изложенный ниже материал легко обобщается на случаи функций любого  числа переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).                   Если  функция  f (х, у) имеет в точке M₀ (x₀, y₀) экстремум, то все частные производные первого порядка от f (х, у)  или  равны нулю, или не существуют в этой точке.

Доказательство.  Зафиксируем один аргумент функции f (х, у). Например, положим переменную у равной постоянной  y₀. Функция  f   (x, y₀)  будет в   этом случае функцией одной переменной х. По условию теоремы при x = x₀ она имеет экстремум (максимум или  минимум) и, следовательно, её первая производная в этой точке равна 0 (см. тему №5), то есть   (или не существует). Рассуждая аналогично, убеждаемся, что производная функции f (x₀, y) по переменной у должна обращаться в нуль или не существовать при y = y₀. Теорема доказана.

        Данная теорема даёт необходимые условия существования экстремума: функция f (х, у) имеет экстремум в тех точках, где частные   производные первого порядка   и  обращаются в нуль (или не существуют).

        Сформулируем правило нахождения точек, в которых функция может иметь экстремум: приравнивая частные производные первого порядка к нулю, получаем систему уравнений:

        Решения этой системы, а также точки, в которых эти производные не существуют, являются теми значениями независимых переменных, при которых функция может достигать экстремума. Эти точки называются критическими для функции .  Если дифференцируемая функция не имеет критических точек, то она и не имеет экстремума.

        Приведённая выше теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции. Так, например, функция  z = x² - y²  имеет производные ,  , которые обращаются в нуль при x =0 и y = 0.  Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума.

        Установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 2. Пусть в некоторой области, содержащей точку M₀ (x₀, y₀), функция f (х, у) имеет непрерывные частные   производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка M₀ (x₀, y₀) является критической для функции f (х, у), то есть  . Тогда при x = x₀, y = y₀:

f (х, у) имеет максимум, если   и A < 0,  где .

f (х, у) имеет минимум, если   и A > 0.

f (х, у) не имеет ни максимума, ни минимума, если

если  , то экстремум может быть, а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование).