Вопрос34. Лин диф ур.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид: dydx+p(x)y=f(x),   (1) где p(x) и f(x) - заданные на промежутке <a,b> непрерывные функции. Если f(x)≡0 , то уравнение (1) называется линейным однородным, т.е. оно имеет вид dydx+p(x)y=0. Если f(x)/=0 , то (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. В линейном однородном уравнении (2) переменные разделяются: ydy=−p(x)dx. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим ln∣y∣=−∫p(x)dx+lnC1,∣y∣=C1e−∫p(x)dx,C1>0,  или, полагая C=±C1, получим общее решение уравнения (2) y=Ce−∫p(x)dx.  (3) Теперь найдем общее решение неоднородного линейного уравнения (1). Для этого воспользуемся общим решением (3) соответствующего однородного уравнения (2). Общее решение уравнения (1) будем искать в виде y=C(x)e−∫p(x)dx,  (4 где будем считать C не постоянной, а неизвестной функцией x. Подставляя функцию (\ref{eq4}) в дифференциальное уравнение (9), получим C′(x)e−∫p(x)dx−C(x)e−∫p(x)dx·p(x)+p(x)C(x)e−∫p(x)dx=f(x), или C′(x)e−∫p(x)dx=f(x),C′(x)=f(x)e∫p(d)dx. Откуда, после интегрирования, имеем C(x)=∫f(x)e∫p(x)dxdx+C1.  Тогда окончательно, подставляя значение C(x)в (4), находим общее решение дифференциальное уравнение (1): y=e∫p(x)dx[∫f(x)e∫p(x)dxdx+C1] или y=e−∫p(x)dx∫f(x)e∫p(x)dx+C1e−∫p(x)dx.   (5)  Отметим, что общее решение (5) дифференциальное уравнение (1) состоит из двух слагаемых, из которых первое является частным решением уравнения (1), получаемого из общего решения (5) при C1=0, а второе является общим решением соответствующего однородного уравнения (2). Пример. Найти общее решение дифференциальное уравнение dydx−yx=x2.  (6) Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение dydx−yx=0.  (7) Разделяя в дифференциальное уравнение (7) переменные и интегрируя, получим ydy=xdx,ln∣y∣=ln∣x∣+lnC,y=Cx. Общее решение уравнения (6) будем искать в виде y=C(x)x. Подставляя это в исходное уравнение (6), имеем dxdCx+C−C=х2,dC=xdx,C(x)=2x2+C1. Отсюда y=C(x)x=(2x2+C1)x  или y=C1x+2x3. Ответ. y=Cx+2x3, C - произвольная постоянная.

Вопрос 35. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка Уравнение вида  Ly=y′′(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=f(x),   a<x<b,      (1) где p(x), q(x), f(x) - заданные на интервале (a,b) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 2 - го порядка. Если f(x)≡0 , то дифференциальное уравнение (1) называется однородным, в противном случае, т.е. когда f(x) тождественно не равна нулю дифференциальное уравнение (1), называется неоднородным. Рассмотрим соответствующее (1) линейное однородное дифференциальное уравнение 2 - го порядка Ly=y′′(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=0.     (2) Лемма~1. Если y(x) является на интервале (a,b) решением линейного однородного дифференциального уравнения (2), то произведение C·y(x), где C - произвольная постоянная, также является решением дифференциального уравнения (2). Лемма~2. Если y1(x) и y2(x) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (2) на (a,b), то и их сумма y1(x)+y2(x) также является решением дифференциального уравнения (2) на(a,b). Следствие. Если y1(x) и y2(x) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (2) на интервале (a,b), то и их линейная комбинация C1y1(x)+C2y2(x) с произвольными постоянными C1 и C2 так же является решением данного уравнения на (a,b). Теперь рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами  Ly=y′′(x)+py′(x)+qy(x)=0,     (3)x∈R,  где p и q - заданные действительные постоянные. Частное решение дифференциального уравнения (7) будем искать в виде функции y(x)=ekx,    (4) где k - неизвестная постоянная. Функция ekx является решением дифференциального уравнения (3) только тогда, когда k является решением алгебраического уравнения: k2+pk+q=0,     (5) так как  Lekx=ekx(k2+pk+q). Алгебраическое уравнение (5) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3). Для характеристического уравнения возможны три случая в зависимости от знака дискриминанта D=p2−4q . 1) Пусть D=p2−4q>0 . В этом случае уравнение (5) имеет два различных действительных корня k1 и k2. Тогда функции y1(x)=ek1x и y2(x)=ek2x является на R частными решениями уравнения (3). Решения ek1x иek2x линейно независимы на R и их линейная комбинация  y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)=C1ek1x+C2ek2x является общим решением дифференциального уравнения (3). 2) Пусть D=p2−4q=0 . Тогда корни уравнения (5) вещественные и совпадают k1=k2=k0.  Общее решение дифференциального уравнения (3) определяется по формуле: y(x)=C1ek0x+C2xek0x.

3) Пусть D=p2−4q<0 . Тогда корни уравнения (9) являются комплексно-сопряженными числамиk1=α+iβ, k2=α−iβ , где α, β -- действительные числа, β/=0 , i2=−1 .  Общее решение дифференциального уравнения (3): y(x)=C1eα xcosβ x+C2eα xsinβ x=eα x(C1cosβ x+C2sinβ x).

Эта теория переносится также на линейные однородные дифференциальные  уравнения n - го порядка y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=f(x),     (6) где ai(x), i=1,n,   f(x) - заданные на интервале (a,b) функции.  Если y1(x), y2(x), ..., yn(x) образуют фундаментальную систему частных решений дифференциальных уравнения (6), то их линейная комбинация  y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x) является общим решением дифференциального уравнения (6). В случае дифференциального уравнения (6) с постоянными коэффициентами ai характеристическое уравнение имеет вид kn+a1kn−1+...+an−1k+an=0.