Вопрос 5 .Определение производной. Примеры.

Если мы имеем точку х на оси, то, чтобы перейти в новую точку, мы даём аргументу приращение Δх (х→Δх). Δу=f(x+Δx)-f(x). Когда х получает приращение Δх, функция y=f(x) получает приращение Δу.

Определение.

Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения Δу к Δх, когда Δх стремится к 0, если этот предел существует и конечен.

y’(x) = f’(x) = y’ =

= =

Примеры.

1) y=x²

Δy = (x+Δx)²-x² = x²+2xΔx+Δx²-x² = 2xΔx+Δx²

y’ =

= = = 2x+Δx) = 2x

2) y=sinx

Δy=sin(x+Δx)-sin(x)=2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)

y’= = =

= = = cos(x)

Геометрический смысл производной.

Дана точка x. Рассмотрим приращение (x+Δx)

Δy=f(x+Δx)-f(x)

Производная = = =

= y’ = f’(x)

Если функция имеет в точке производную, она называется дифференцируемой в этой точке.

Пусть Δх → 0, или B→A. Каждый раз будет новая B, новый и новая хорда AB. Очевидно, что, когда B совпадёт с A, хорда совпадёт с касательной, т.е., предельное положение хорды - касательная к графику функции в точке A.

= tg ₀, где фи₀ – угол наклона касательной к оси X. Производная – тангенс угла, образованного касательной с осью X.

Из сказанного выше вытекает, что существование производной в точке x (или, иначе, дифференцируемость функции в точке x) означает, что в этой точке существует касательная к графику функции.