Вопрос 13. Общая схема построения графика функции.

Если дана функция y=f(x), то построение графика этой функции сводится к следующим пунктам:

1) Область существования, точки разрыва, вертикальные асимптоты.

2) Участки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

3) Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

4) Наклонные асимптоты.

Замечания:

Если функция чётная, то её график симметричен относительно y (f(x)=f(-x))

Если функция нечётная, то её график симметричен относительно точки 0 (f(x)=-f(x))

Если функция является периодической, то её график достаточно строить для одного периода.

Схема исследования функций и построения графиков.

1.Общий характер функции: область определения функции и, если это возможно, область её значений; наличие чётности, периодичности; нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции); область непрерывности функции, её разрывы и их характер; пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть); наличие наклонных асимптот. 2.Исследование функции с помощью первой производной на экстремумы и участки монотонности. Граничными точками интервалов монотонности функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки первого рода. 3.Исследование функции с помощью второй производной на выпуклость и точки перегиба. Граничными точками интервалов выпуклости графика функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки второго рода. После первого этапа исследования полезно построить примерный график, который уточняется в результате второго и третьего этапов.