Вопрос25 Свойства определенного интеграла

Линейность.

Док-во. Рассмотрим разбиение R отрезка точками:

— произвольная точка; . Составим интегральную сумму для левой части равенства:

переходя к пределу при получим требуемое равенство.

Аддитивность по множеству

Если и интегрируема на и , то интегрируема на и

Док-во. Рассмотрим разбиение ;

Обозначим :

Если и , то

Составим интегральную сумму:

Прейдем к пределу при и :

Т.е. получим требуемое равенство.

Свойства определённого интеграла.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывна на , а ее первообразная, то: .

Док-во. — непрерывная функция . Рассмотрим разность .

Разобьем отрезок на части точками R:

Представим разность в виде: . Но , поэтому .

Переходим к пределу при , получим .

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)