Вопрос22. Интегрирование тригонометрических выражений.

Интеграл вида . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t=tg(x/2). Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную. ,  Тогда  Таким образом: Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

  Пример.

  Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Интеграл вида  если функция R является нечетной относительно cosx.

 Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция  может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида  если функция R является нечетной относительно sinx.

 По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

Интеграл вида функция R четная относительно sinx и cosx.

  Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx. Тогда

 Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул: