Системы линейных однородных уравнений. Исследование решений. Фундаментальная система решений.

Однородной системой m – линейных уравнений с n – неизвестными называется система уравнений вида:

Теорема. Система (3) всегда имеет хотя бы одно тривиальное решение: х₁= х₂ = … = х_n= 0.

При решении однородной системы линейных уравнений возможны следующие случаи:

1) Если m = n и определитель матрицы системы ∆  0, то ∆ x₁ = ∆ x₂ = = … = ∆ x_n= 0. Тогда система (3) имеет единственное тривиальное решение х₁= х₂ = … = х_n= 0 - по формулам Крамера.

2) Если m = n, но определитель матрицы системы ∆ = 0, то система (3) имеет множество решений.

3) Если m<n, то система (3) имеет множество решений.

Определение. Система линейно независимых решений e_l, е₂, ..., е_k называется фундаментальной, если каждое решение системы (3) является линейной комбинацией решений e_l, е₂ , ..., е_k.

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (3) меньше числа пере­менных n, то всякая фундаментальная система решений систе­мы (3) состоит из n – r решений.

Пример:

m = 3; n = 4.

х₁, х₂, х₃ – базисные, x₄ – свободное.

Пустьх₄= C, тогда

х₃ = х₄=>х₃= C

х₂– 7C– 14C= 0

х₂= 21C

х₁– 21C + 2C + 5C = 0

х₁= 14C

Ответ:

х₁= 14C;

х₂= 21C;

х₃= C;

х₄= C.