Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1) Сумма (разность) комплексных чисел

;

2) Произведение комплексных чисел

(учли, что )

3) Деление комплексных чисел

Для того чтобы выполнить деление комплексных чисел, надо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю:

Следовательно,

Пример:

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

–модуль комплексного числа

, следовательно

– тригонометрическая форма комплексного числа.

Пример:

;

a = 1;

b = – 1;

φϵIVчетверти. Тогда

.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть даны два комплексных числа:

Тогда получим:

4. .

Примеры:

а) Пусть

z₁ = 3 ∙ (cos 20° + isin 20°);

z₂ = 2 ∙ (cos 35° + i sin 35°),

тогда

z₁· z₂ = 6 ∙ (cos 55° + i sin 55°).

б) Перемножить три комплексных числа:

2∙(cos 150° + i sin 150°), 3∙[cos (‒160°) + i sin (‒160°)] и 0,5∙(cos 10° + i sin 10°).

Решение: Модуль произведения 2 · 3 · 0,5 = 3.

Аргумент произведения 150° ‒ 160° + 10° = 0°.

Произведение равно 3 ∙ (cos 0° + i sin 0°).

Показательная форма записи комплексных чисел.

Воспользуемся тождеством Эйлера:

, ()

Умножим обе части этого равенства на:

.

Следовательно,

– показательная форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме.

Пусть даны два комплексных числа:

;

Тогда получим:

4. .

Пример:найти:

, при k= 0; 1.

.

φϵIIчетверти. Тогда ,

При k= 0:

При k= 1: