Линейная модель обмена (международной торговли).

Пусть имеется n ‒ стран ,, …,, национальный доход которых обозначим соответственно,, …,.

Обозначим – долю национального дохода, которуюj – страна тратит на закупку товаров у i –страны. (i = ;j= )

Предположим, что весь национальный доход тратится либо на закупку товаров внутри страны, либо на импорт их из других стран.

Получим структурную матрицу торговли:

Из равенства (1) следует, что сумма элементов любого столбца матрицыАравна единице.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли будет находиться по формуле:

= ++ … +.

Для сбалансированной торговли нужна бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода:

(2)

Запишем неравенство (2) в виде системы линейных неравенств:

(3)

Сложив левые и правые части неравенств системы, получим:

(++ … +)+ (++ … +)+ … + (++ … +)++ … +.

Учитывая равенство (1) получим, что левая часть неравенства равна правой части, и система неравенств (3) станет системой уравнений.

A · X = XA · X – X = 0; (A – E) · X = 0

Задача свелась к нахождению собственного вектора матрицы A при = 1.

Пример: Структурная матрица торговли четырех стран име­ет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансиро­ванной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюд­жетов задана:

Решение: Необходимо найти собственный вектор , отве­чающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицыА, т.е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид:

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвест­ных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компонен­ты собственного вектора :

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):