Выражение векторного произведения через координаты.

Пусть = ();= ();

Разложим а и b по базисным векторам:

а= x₁i + y₁ j + z₁k,     b = x₂i + y₂ j + z₂k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

× = (x₁i + y₁ j+ z₁k)× (x₂i + y₂ j+ z₂k) =

= x_1·x_2·i×i + x_1·y_2·i×j + x_1·z₂·i×k +

+ y_1·x₂ j×i + y_1·y₂ j; j + y_1·z₂ j×k +

+ z_1·x₂ k×i + z_1·y₂ k×j + z_1·z₂ k×k.      (1)

По определению векторного произведения находим

i×i = 0,         i×j = k,           i×k= –j,

j×i = –k,      j×j  = 0,          j×k  = i,

k×i = j,         k×j = –i.      k×k = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

× =x₁y₂k–x₁z₂ j–y₁x₂k + y₁z₂ i + z₁x₂ j –z₁y₂i

или

× = (y₁z₂ –z₁y₂) i + (z₁x₂ –x₁z₂ )j + (x₁y₂–y₁x₂) k.   (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученную формулу можно записать в другом более удобном для запоминания виде:

× =  (3)

Обычно формулу (3)  записывают еще короче:

× =(4)

‒ формула для вычисления векторного произведения.

Тогда,

S_{пароаллелограмма} = │×│=

S_{треугольника =} =;

Пример: найти векторное произведение векторов:

Решение: