Линейные операторы.

Рассмотрим два линейных векторных пространства: – размерности и– размерности.

Определение. Если задан закон или правило, по которому каждому вектору пространстваставится в соответствие единственный вектор ȳ пространства, то говорят, что задан оператор (отображение) как функцияпространствав пространство, т.е..

Вектор – прообраз вектора, вектор– образпри этом отображении.

Оператор называетсялинейным, если выполняются следующие два условия:

1. (+) =() +() – аддитивность;

2. (·) =·() – однородность.

Равенство можно представить в виде матричного уравнения:

Y = A · X,

где A – матрица линейного оператора . В координатном виде получим:

Зависимость между матрицами одного и того же операторав разных базисах задается формулой:

= ·,

где – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример:

Линейный оператор задан матрицей:

;

;

Найти:

Решение:

;

.