Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).

Вектор  называется собственным вектором линейного оператора (матрицы), если выполняется равенство:

() =(1)

Следовательно, , (т. е.отображается на коллинеарный вектор).

Число  называется собственным значением линейного оператора.

Запишем равенство (1) в матричном виде:

A·X = ·X;A·X ‒·X = 0,

т. е.

(A ‒  · E) · X = 0 (2)

– характеристическое уравнение.

Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений:

Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.

│A –·E │= 0 или = 0 (3)

Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно .

Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений  оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора.

Пример:

Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора.

Решение:

Составим характеристический многочлен.

│A – ·E │=

=

. – собственные значения оператора A.

1) при

;

;

.

Пусть , тогда – первый собственный вектор оператора A.

2) при

;

;

.

Пусть , тогда