Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок не равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang (A) или r (A).

Теорема 1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров.

r(A) ≤ min (m; n)

Пример:

А_2×3 = ;

r (A) ≤ min (2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r (A) ≤ 2.

= 3 + 24 = 27  0; r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 2. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен ее порядку, если она не вырожденная.

Примеры:

1)А_3×3 = ; r (A) ≤ 3.

│А│= = 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6  0 матрица не вырожденнаяr (A) = 3.

2)А_3×3 =; │А│= 0, т.к. III = I × (– 3) r (A) < 3.

= 0 + 5 = 5  0 r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.