Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли, базисные решения.

Теорема 1(Кронекера-Капелли). Система m – линейных уравнений с n – неизвестными совместна только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

r (A) = r (A_в)

Пример:

│А│= = 65 0, r (А) = 3;

A_B= =r (A_B) ≤ 3, так как

= ‒ 8 + 45 + 144 ‒ 40 + 72 ‒ 18 = 195 =r (A_B) = 3 =

r(A) = r (A_B) => по теореме Кронекера ‒ Капелли система совместна.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т. е. r(A) = n, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r (A) < n, то система имеет множество решений.

Тогда переменные х₁, х₂, …, х_r называются базисными, если минор, составленный из коэффициентов при этих неизвестных  0, остальные (n – r) – неизвестных называются свободными.

Пример: найти базисное решение системы уравнений.

Решение:

х₁, х₂, х₃ – базисные, х₄ – свободная.

Пусть х₄= C = const; х₃= 2, тогда

2 х₂+ 2 + 2 C= 0 | · 2

х₂= – C – 1

х₁ – C – 1 + 2 + C= 2;

х₁= 1

Ответ:

х₁= 1;

х₂= – C – 1;

х₃ = 2;

х₄= C.

Найдем частное решение:

Пусть C = 1, тогда

х₁= 1;

х₂= – 2;

х₃ = 2;

х₄= 1.

Проверка:

Подставим значения х₁, х₂, х₃, и х₄ в систему уравнений

,

Получим