22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
Озн. Порівняння першого степеня з однією невідомою величиною називається .(1) називають розв’язком рівняння, якщо при його підстановці рівняння перетворюється в істинне числове порівняння.Теорема1:Якщо am-взаємнопрості то рівність(1) маэ і притому єдиний розв’язок.
Д-ня: Розглянемо повну систему найменших невід’ємних лишків. ПСННЛ(modm)={0,1,2…m-1}так як am-взаємнопрості, то згідно теореми про ПСЛ, якщо х пробігає ПСЛ то ax-b теж пробігає ПСЛ причому лише один раз ax-b буде порівнюватись з 0(modm) .
Теорема2:Якщо найбільше CD(a,m)=d i то(1)не має розв’язків.
Д-ня: (від супротивного) з даної нерівності так, як ,а це суперечить умові.
Теорема3:Якщо НСД(a,m)=d і то рівність має d- розв’язків за mod(m).НСД(a,m)=d
так як взаємно прості, то згідно Теореми1 порівняння має єдиний розв’язок. цей клас розбиваємо за (modm), які будуть розв’язками порівняння. Основними методами розв’язування порівнянь є:
1.Безпосередня перевірка лишків ПСННЛ. Цей метод використовується тоді коли(modm)порівняно невелике число.
2.полягає в тому, щоб використати властивість порівнянь одержати коефіцієнт х.
- 1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- 2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- 3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- 4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- 5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- 6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- 7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- 8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- 9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- 11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- 12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- 13. Теорема Крамера.
- 14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- 16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- 17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- 18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- 19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- 20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- 22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- 23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- 25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- 26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- 27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- 28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- 30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.