§2. Общее уравнение прямой

Теорема 1.В декартовой системе координат прямая выражается уравнением первой степени:

. (2.2)

Доказательство. Перепишем каноническое уравнение прямой (2.1) в виде

.

Полагая т = А, , , приведем его к виду.

Это уравнение первой степени, так как вектор ненулевой и поэтомуАиВодновременно в нуль не обращаются (А = т, ).

Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени

(2.3)

в декартовой системе координат является уравнением прямой.

Доказательство.Пустьх₀,у₀– какое-нибудь решение уравнения (2.3), т.е.

. (2.4)

Тогда уравнение

или(2.5)

будет эквивалентно уравнению (2.3).

По доказанной в предыдущем параграфе теореме это уравнение, а, следовательно, и уравнение (2.3), является уравнением прямой, направляющим вектором которой является вектор и которая проходит через точкуМ(х₀,у₀).

Теорема 3.Необходимым и достаточным условием того, что векторколлинеарен прямой, заданной относительно декартовой системы координат уравнением (2.2), является условие

. (2.6)

Доказательство. Отложим векторот любой точкиМ₀(х₀,у₀) .данной прямой. КонецМотложенного вектора будет иметь координаты. Векторколлинеарен данной прямой тогда и только тогда, когда точкаМлежит на данной прямой, т.е. тогда и только тогда, когда выполнено равенство

,

или

.

(, так как точкаМ₀лежит на данной прямой).

Если прямая задана уравнением (2.2) относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор перпендикулярен этой прямой.

В самом деле,

,

значит вектор перпендикулярен направляющему векторуданной прямой, а потому векторперпендикулярен и самой прямой. Векторназываетсянормальным вектором этой прямой.

Уравнение называетсяобщим уравнением прямой.Рассмотрим частные случаи расположения прямой относительно декартовой системы координат:

1. Прямая коллинеарна оси Охтогда и только тогда, когдаА = 0, так как направляющий векторпрямой коллинеарен осиОхтогда и только тогда, когда вторая координата этого вектора равна нулю.

Уравнение прямой в случае, если эта прямая коллинеарна осиОх, имеет, таким образом, видВу + С = 0 или(где).

2. Аналогично доказывается, что прямая коллинеарна осиОу тогда и только тогда, когдаВ = 0, т.е. тогда и только тогда, когда общее уравнениепрямой имеет видАх + С = 0, илих = а .

3. Необходимым и достаточным условием того, что прямая проходит через начало координат, является равенствоС= 0, так как в случаеС= 0 и только в этом случае уравнениеудовлетворяется координатами начала координат.

Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид Ах + Ву = 0, и обратно (т.е. любое однородное уравнениеАх + Ву = 0 первой степени определяет прямую, проходящую через начало координат).