Определитель Вронского

Пусть имеется n функций имеющих непрерывные производные до n-1 порядка включительно, тогда выражение:

(5) называется определителем Вронского, или вронскиан функции.

Теорема: Если функции линейно зависимые, то определитель Вронского тождественно равен 0, на рассмотренном интервале.

Доказательство: Пусть функции линейно зависимые, тогда существует набор чисел , хотя бы одно из которых отлично от 0, такое, что будет выполняется соотношение:

, тогда можно переписать в виде:

Продифференцируем выражение до n-1 порядка включительно:

рассмотрим определитель Вронского от этих функций. Умножим первый столбец этого определителя на и отнимем его из последнего столбца:

Поступая аналогично с n-1 столбцом, получим определитель, численно равный исходному. В силу (7), (7’), последний столбец преобразованного определителя будет состоять из нулей, следовательно определитель Вронского в этом случае равен 0.

Теорема: Если функции являются решениями уравнения (3) и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Доказательство: предположим противное, что набор частных решений линейно зависим в некоторой точке интервала , т.е. определитель Вронского в точке .

Составим линейную комбинацию . Производная от линейной комбинации:

Возьмем и прировняем эти выражения к нулю:

Таким образом, получили систему линейных однородных уравнений относительно переменных . Корневой определитель этой системы является определителем Вронского в точке и он равен нулю, следовательно, выписанная система линейных уравнений является неопределенной, обладает бесконечным множеством решений. Выберем частные решения этой системы , так, чтобы не все элементы обращались в 0. При этом, согласно следствиям из теоремы о линейных однородных уравнениях , получим, что функция будет являться решением линейного однородного уравнения (3). Это решение удовлетворяет начальным условиям , .

Таким образом функция удовлетворяет начальным условиям (8).

В силу теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка заключаем, что решение единственно, при этом этим же условиям удовлетворяет тривиальное решение , откуда вытекает, что .

, т.е. получим, что функция линейно зависимые, полученное противоречие доказывает теорему.

Определение: Любая система из n-линейнонезависимых частных решений однородного линейного уравнения n-го порядка называется фундаментальной системой решения.

Если фундаментальная система решений уравнения, то общее решение можно записать в виде: .

Теорема: Для всякого линейного однородного диференциального уравнения существует фундаментальная система решений.

Пример:

найти общее решение дифференциального уравнения.

, - это функция является решением выписанного уравнения. Замечаем, что , проверим, являются ли эти функции линейно зависимыми , .

, следовательно, эти функции линейно независимы. Определитель Вронского позволяет, зная фундаментальную систему решений, легко построить соответствующие дифференциальные уравнения, для этой цели приравнивают к 0 определитель Вронского.

Очевидно что, подставляя вместо последнего столбца частное решение , будем обращать выделенный определитель в тождественный ноль. Чтобы выписать явный вид дифференциального уравнения, раскроем определитель по элементам последнего столбца.

Замечаем, что коэффициент, стоящий при старшей производной является определителем Вронского от . Так как система функций является фундаментальной, то этот определитель отличен от 0. Разделив (9) на определитель Вронского можно переписать линейное уравнение в виде:

(10)

Определитель Вронского принято обозначать W(x). Можно заметить, что определитель, стоящий в числителе выражения является производной определителя Вронского. Следовательно, соотношение (10) можно переписать в виде: (10’). Разделяя переменные по соотношению (10’) получим .Интегрируя последнее соотношение находим: . Записав первообразную в виде интеграла с переменным верхним пределом, можем преобразовать последнее выражение в виде: (11)

Соотношение (11) называют формулой Остроградского – Лиувилля

Формула (11) может быть применена для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка у которого известно одно частное решение.

Пример:

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

- частное решение этого уравнения. Составим из функции и определитель Вронского:

Раскроем определитель стоящий слева:

Разделив обе части последнего соотношения получим :

Замечаем, выражение слева является полной производной от

. Таким образом проинтегрировав выписанное дифференциальное соотношение найдем: (12)

Формула (12) дает общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка при известном частном решении.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение: ,

Заметим, что частным решением является:

Выпишем величину для данного уравнения и заметим, что она равна используя формулу 12 запишем общее решение этого дифференциального уравнения.

Таким образом, общее решение: