5.1. Полярная система координат на плоскости

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если на ней выбраны точка О, называемаяполюсом, полупрямаяОх, выходящая из точкиО, называемаяполярной осью, масштабный отрезокОЕ = 1 и указано положительное направление отсчета угла от осиОхдо любого луча, исходящего из полюсаО.

Положение любой точки М, не совпадающей с полюсом, на плоскости при помощи такой системы координат можно определить двумя числами: числом, выражающем расстояние точкиМ от полюса, и числом– величиной угла, образованного лучом, исходящим из полюса, содержащим отрезокОМс полярной осью. Положительным направлением отсчета угласчитается направление против часовой стрелки от осиОх. Упорядоченная пара чиселназывается полярными координатами точкиМ. Первая координатаназывается такжеполярным радиусом, а вторая ––полярным углом.

Тот факт, что числа иесть координаты точкиМ, записывают так:

. Для полюсаО считают= 0,– любое число.

Замечание. В некоторых случаях полярному радиусуприписывают знак: именно, считают, если уголизмеряют от полярной оси до луча, который образуется при продолжении отрезкаОМ за точкуО.

Полярные координаты иоднозначно определяют положение точки на плоскости. Обратное утверждение неверно, так как каждой точке координатной плоскости соответствует одно и то жеи бесчисленное множество полярных углов, которые могут отличаться друг от друга на, где. Таким образом, в отличие от декартовой системы координат, полярная система координат на плоскости не дает возможности установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек координатной плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел. Для того, чтобы получить взаимно однозначное соответствие, на полярный уголналагают ограничения:

(или).

Эти значения называются главными значениями полярного угла.

Установим связь между полярными и декартовыми координатами точки М. Для этого совместим правую прямоугольную систему координатхОус полярной так, чтобы начало координат совпало с полюсом, а полярная ось – с положительной полуосью абсцисс. Масштабный отрезокОЕполярной системы координат примем и за масштабный отрезок декартовой системы (рис.3.1).

Рис. 3.1

Пусть и– полярные координаты произвольной точкиМ плоскости, не совпадающей с полюсом, ахиу– ее декартовы прямоугольные координаты в указанной выше системе.

По определению тригонометрических функций имеем

,(1.7)

Эти формулы выражают декартовы координаты точки плоскости через полярные. Решая систему (1.7) относительно и(при условии, что), получаем

, (1.8)

(1.9)

или, если ,

. (1.10)

Формулы (1.8), (1.9), (1.10) позволяют вычислить полярные координаты иточкиМпо ее декартовым координатамхиу. При условии, что(т.е. рассматриваются главные значения полярного угла), из (1.9) получаем

В случае, если , то из (1.10) имеем

Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение

Φ(ρ, φ) = 0, (1.11)

которому удовлетворяют полярные координаты ивсех точек этой линии и только координаты таких точек.

В частности, уравнение линии в полярных координатах может иметь вид. Например, уравнение, гдеа = const, определяет в полярных координатах окружность с центром в полюсе и радиусомa; уравнение– окружность радиусаа, центр которой находится в точкеρ = а,φ= 0; уравнениеρ = аφ– кривую, которая называетсяспиралью Архимеда(изобразить такую кривую предлагается самостоятельно).