Особые решения

Особыми решениями называются такие решения дифференциального уравнения, которые во всех своих точках не удовлетворяют условию единственности. Особое решение получается в том случае, когда нарушается условие б) теоремы существования, при этом липшитцевость функции обычно заменяется неограниченностью производной . Если точки, в которых неограниченна, образуют линию, то необходимо проверить является ли эта линия решением дифференциального уравнения и нарушается ли в ее точках единственность решений. Если линия является решением и нарушается единственность, то найденная линия дает особое решение дифференциального уравнения.

Пример:

в дифференциальном уравнении.

Убеждаясь, что функция является ее решением для того, чтобы показать, что найденные решения являются особыми, найдем общее решение данного дифференциального уравнения.

Через каждую точку оси х проходят кривые, являющиеся решением дифференциального уравнения. Выражение у=0 дает особое решение рассматриваемого дифференциального уравнения. Если известно общее решение дифференциального уравнения, то особое решение во многих случаях может быть найдено в качестве огибающей семейства общих решений. Если (х,у,с)=0, дает общее решение дифференциального уравнения, то для построения огибающей находят частную производную , , из полученной системы исключают параметр с. Построим особое решение , используя общее решение рассмотренного ранее. Найдем частную производную по с о общего решения: .