4.1. Алгебраические линии на плоскости

Определение 1. Линия на координатной плоскости называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнение линии является алгебраическим.

Алгебраическим уравнением называется уравнение, которое мы получим, приравняв нулю целую рациональную функцию, т.е. функцию, которая получается, если над аргументами и числами производятся только операции сложения и умножения. Например,

.

Замечание. Вычитание рассматривается как сложение, при котором одно из слагаемых умножено на –1, а деление на число, не равное нулю – как умножение на число, обратное этому числу.

Определение 2. Если линия определяется в декартовой прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением п-й степени, то она называется алгебраической линией п-го порядка.

Степенью алгебраического уравнения

называется степень целой рациональной функции F, т.е. максимальное значение суммы показателей аргументов в выражении вида

,

суммой которых является функция F.

В приведенном выше примере функция z третьей степени.

Во всех декартовых системах координат алгебраическая линия определяется алгебраическим уравнением и имеет один и тот же порядок. Таким образом, алгебраический характер уравнения алгебраической линии и ее порядок инвариантны (т.е. неизменны) по отношению к преобразованию декартовой системы координат.

В аналитической геометрии на плоскости изучаются главным образом алгебраические линии первого и второго порядков, т.е. линии, заданные относительно декартовой системы координат уравнениями

, (1.4)

Данные уравнения называются общими уравнениями линий первого и второго порядка.