§3. Линия в геометрическом пространстве

Линия в геометрическом пространстве x, y, z может быть определена как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей, следовательно, такая линия может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей, пересекающихся по этой линии:

(1.1)

Таким образом, линия в пространстве – это множество точек этого пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1.1).

Уравнения вида

, (1.2)

устанавливающие зависимость текущих координат точки М от некоторого параметра t, также определяют линию в геометрическом пространстве. Подобные уравнения, аналогично, как и для линии на плоскости, называют параметрическими: они дают параметрическое представление линии в геометрическом пространстве.

В частности, если уравнения (1.2) рассматривать так же, как уравнения, устанавливающие зависимость текущих координат по ортонормированному базису радиус-вектораточкиМ от некоторого параметра t, то тогда уравнение линии в геометрическом пространстве можно записать в виде вектор-функции (см. кн.2, гл.4, §7.):

(1.3)

Уравнение (1.3) называют параметрическим уравнением линии в векторной форме или просто векторным уравнением линии в геометрическом пространстве.

Так, например, уравнения или уравнение

являются параметрическими уравнениями или векторным уравнением винтовой линии, расположенной на поверхности цилиндра радиуса R.