Разные виды случайных выборок

На практике наиболее распространенной является простая случайная выборка. Выборка объема – называется простой случайной, если каждый объект генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть выбранным и если любой набор из объектов совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в рассматриваемую выборку. В настоящее время достаточно надежными методами получения простой случайной выборки являются следующие: а) метод, использующий специальное рандомизирующее устройство в персональных компьютерах; б) метод, использующий таблицы случайных чисел.

Остановимся на использовании таблиц случайных чисел. Допустим, например, что с целью изучения общих умственных способностей некоторой совокупности учеников объема не превосходящего 100 требуется образовать случайную выборку объема –не более 10 учеников. Если в нашем распоряжении имеется таблица случайных двухзначных чисел, то занумеруем фамилии всех учеников совокупности числами 00, 01, 02, 03, ..., 99. Воспользовавшись произвольно выбранной строчкой или столбцом таблицы случайных чисел, включаем в случайную выборку тех учеников, фамилии которых занумерованы первыми случайными числами, записанными в выбранной строчке или в выбранном столбце.

Указанный выше метод пользования таблицей случайных чисел не является единственно возможным для получения случайной выборки заданного объема.

Отметим, что значение простого случайного отбора прежде всего в том, что полученные результаты при изучении свойств случайной выборки допускают вероятностную оценку свойств всей генеральной совокупности. Этим обстоятельством случайные выборки принципиально отличаются от субъективно организованных выборок, от преднамеренных, неслучайных выборок, от выборок, построенных лишь на части совокупности, и т. д. Для такого рода субъективных выборок невозможна никакая объективная оценка результатов выборочных наблюдений для всей совокупности.

При использовании метода простой случайной выборки точность получаемых на основе выборки результатов для всей совокупности зависит лишь от объема выборки. Чем больше объем, тем большая точность. Решая вопрос о степени точности и, следовательно, об объеме выборки, необходимо учитывать затраты (временные, организационные, финансовые и т. п.) на получение результатов различной точности.

Если исследователю известна информация о распределении признака генеральной совокупности, то можно указать формулу приближенного расчета объема выборки, необходимой для достижения требуемой точности результатов выборки. Иногда можно получить такие сведения из других исследований, которые охватывают ту же самую или однотипную по составу совокупность. Если таких сведений нет, то их можно получить путем проведения предварительного изучения небольшой части совокупности, прежде чем производить основную выборку. Другими словами, в этом случае проводится предварительная выборка, разведочный эксперимент.

В случае, когда в генеральную совокупность можно разделить на части обладающие каким либо общим признаком рекомендуется использовать так называемый метод типологической случайной выборки вместо метода простой случайной выборки.

Простая случайная выборка производится из целиком однородной генеральной совокупности. Однако на практике часто встречаются разнородные совокупности, которые целесообразно разделить на отдельные непересекающиеся типы или группы таким образом, чтобы каждая группа была более однородной, чем вся совокупность в целом. Например, при изучении общих умственных способностей учащихся школ целесообразно разделить школы на два типа: городские и сельские. В таких случаях применяется типологическая случайная выборка. Она состоит в том, что перед выборкой изучаемая совокупность подразделяется на непересекающиеся типы и затем, пользуясь простым случайным выбором, производится необходимая по объему выборка из каждого типа. Таким образом, основной особенностью типологической случайной выборки является однородность внутри групп и разнородность между группами. Здесь главной задачей становится определение объемов выборки каждого типа. Обычно на практике берут объемы случайных выборок пропорциональными объемам типов с одним и тем же коэффициентом пропорциональности.

С точки зрения качества вычисляемых показателей неоднородной генеральной совокупности типологическая случайная выборка имеет большие преимущества перед простой случайной выборкой.

Из некоторых других способов случайной выборки упомянем лишь о многоступенчатой случайной выборке. Пусть, например, требуется изучить общие умственные способности учеников школ, которые подразделены на два типа: городские и сельские. Для некоторых целей бывает необходимо, в свою очередь, разделить учеников городских и сельских школ на учеников младших и старших классов. В таком случае проводится случайный отбор в два этапа, в две ступени: сначала делается простой случайный отбор школ отдельно среди городских и сельских школ, а затем проводится простой случайный отбор учеников отдельно среди учеников младших и старших классов уже из выбранных на первом этапе школ.

До сих пор рассматривались разные виды случайных выборок без повторений, т. е. таких выборок, при которых отобранный объект перед отбором следующего в генеральную совокупность не возвращается. Именно такого рода выборки обычно используются на практике.

Другой возможный вариант выборки — это выборка с повторениями, т. е. такая выборка, при которой отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Выборки с повторениями практически не используются в психологических исследованиях. Однако при большом объеме выборки разница между указанными типами выборок стираются.

После того как сделана случайная выборка, элементы исследуются по отношению к определенному признаку или свойству и в этом состоит первоочередная задача математической обработки результатов наблюдения.

Математическая статистика – это прикладная математическая дисциплина, родственная теории вероятностей. Задача математической статистики состоит в том, чтобы уменьшить неопределенность в задании вероятности P, используя информацию, доставляемую наблюдаемым исходом эксперимента (статистическими данными). Математическая статистика уточняет (выявляет) структуру статистических моделей по результатам проводимых наблюдений. Возникновение и развитие математической статистики, определялось потребностями практики. Она играет важную роль в экономических исследованиях, биологии, медицине, физических науках, геологии, социологических исследованиях и других далеких от математики науках. Исходные статистические данные - результат наблюдения некоторой конечной совокупности случайных величин X=(X₁,...,X_n), характеризующей исход изучаемого эксперимента. В этом случае говорят, что эксперимент состоит в проведении n испытаний, в которых результат i-того испытания описывается случайной величиной X_i, i=1,...,n. Совокупность наблюдаемых случайных величин X=(X₁,... , X_n ) называется выборкой, сами величины X_i, i=1,...,n , элементами выборки, а их число n - ее объемом. Реализации выборки X будем обозначать соответствующими строчными буквами x=(x₁,...,x_n). Множество всех возможных значений выборки X называется выборочным пространством. Само же множество, которое изучается выборочным методом, называется генеральной совокупностью. Выборочное пространство может быть либо всем n - мерным евклидовым пространством или его частью, либо состоять из конечного или счетного числа точек. Обычно встречаются ситуации, когда компоненты X₁,...,X_n независимы и все распределены так же, как и некоторая случайная величина . Этот случай соответствует эксперименту, в котором проводятся повторные независимые наблюдения над случайной величиной . Такую модель можно задать в терминах функции распределения , и в этом случае говорят, что X=(X₁,...,X_n) - выборка из распределения случайной величины .