Вопрос 31. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: f1(x)dx=f2(y)dy,     (1) которое называется  уравнением с разделенными переменными. Пусть найдено некоторое его решение y(x). При подстановке y=y(x) в дифференциальное уравнение (1) оно обратится в тождество и, интегрируя его, имеем f1(x)dx=∫f2(y)dy+C,    (2)  где C - произвольная постоянная. Получили уравнение (2), которому удовлетворяют решения дифференциального уравнения (1). Обратно, каждое решение y(x) уравнения (2) является и решением исходного дифференциального уравнения (1), так как если y(x) обращает в тождество уравнение (2), то, дифференцируя это тождество, получим, что y(x) обращает в тождество и уравнение (1). Следовательно, равенство (2) содержит все решения дифференциального уравнения (1) и оно называется общим интегралом уравнения (1). Из него при определенных условиях можно выразить y от x или x от y. Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условиям: y=y0 при x=x0, то таким решением является равенство ∫xx0f1(t)dt=∫yy0f2(t)dt, так как оно содержится в общем интеграле (2) и удовлетворяет начальным условиям.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения xdx+ydy=0. Решение. Переменные здесь разделены, то есть коэффициенты при дифференциалах dx и dy являются соответственно функциями только от x и y, следовательно, интегралом уравнения будет ∫xdx+∫ydy=C1 или 2x2+2y2=C1 или x2+y2=2C1. Ответ. x2+y2=C2, C -- произвольная постоянная.