Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности распределены нормально. Из этих совокупностей извлечено независимых выборок одинакового объема n и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии , все с одинаковым числом степеней свободы .

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

В рассматриваемом случае выборок одинакового объема можно по критерию Фишера—Снедекора сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; если окажется, что различие между ними незначимо, то подавно незначимо и различие между остальными дисперсиями. Недостаток этого метода состоит в том, что информация, которую содержат остальные дисперсии, кроме наименьшей и наибольшей, не учитывается.

Можно также применить критерий Бартлетта. Однако, предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено точно.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена – отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

.

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы и количества выборок .

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: .

Критическую точку находят по таблице значений соответствующей функции, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по соответствующей таблице найти критическую точку.

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выборочных дисперсий.