§10. Расстояние от точки до плоскости

Теорема.Если плоскость задана нормальным уравнением

,

(где ) относительно декартовой прямоугольной системы координат, то расстояниеdот точкидо этой плоскости вычисляется по формуле

(или),

т.е. расстояние от точки до плоскости, заданной нормальным уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат, равно абсолютной величине результата подстановки координат данной точки в левую часть уравнения плоскости.

Доказательство. Из точкиМ₀на данную плоскость опустим перпендикуляр и рассмотрим вектор, где точка– основание перпендикуляра, принадлежит плоскости. Тогда(рис.3.6). Вектораиколлинеарны, поэтому, учитывая, что, имеем

.

Отсюда, принимая во внимание, что (точкаМ₁принадлежит плоскости), получаем

.

Если плоскость задана общим уравнением

,

то для того, чтобы найти расстояние dот точкидо плоскости, нужно сначала привести уравнение к нормальному виду, а затем найти абсолютное значение его левой части в точкеМ₀:

.

Замечание. Иногда расстоянию от точки до плоскости приписывают знак; называют такое расстояниеотклонениеми полагают

,

где – угол между коллинеарными векторамии.

Плоскость делит пространство на два полупространства. Для точек, находящихся в полупространстве, содержащем начало координат О (0, 0, 0) и. Это полупространство называютотрицательным. Для полупространства, не содержащего начало координат, и(рис.3.6). Это полупространство называютположительным.