Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда

Пусть задан функциональный ряд: задан на интервале

Теорема: Для равномерной сходимости функционального ряда (1) на интервале не обходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа , можно было указать такой номер N, что для всех , для любых натуральных чисел p и всех точек интервала выполнялось неравенство:

Доказательство:

1) Необходимость. Для доказательства нужно показать, исходя из равномерной сходимости ряда (1) выполнение условия (2). Заметим, что выражение может быть записано в виде, . Переходя в последнем равенстве к абсолютным величинам, получили: . Зафиксируем произвольное положительное число . Так как ряд (1) равномерно сходится, для выбранного значения , можно было указать такой номер N, что для всех будет выполнялось неравенство , так как n+p>N, то имеем также неравенство . С учетом выписанных оценок устанавливаем справедливость неравенства (2).

2) Достаточность. Для доказательства необходимо исходя из неравенства (2) установить равномерную сходимость ряда (1). Заметим, что остаток ряда (1) может быть представлен в виде: . Зафиксируем произвольное положительное число . И по этому числу находим такой номер N, что для всех , для любых натуральных чисел p, всех точек интервала выполнялось неравенство: . Переходя в (4) к пределу при получим: . Таким образом доказали достаточность. Теорема доказана.