Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях производятся независимые испытания; в результате каждого испытания событие A может появиться либо не появиться. Обозначим неизвестную вероятность появления события A в первой совокупности через , а во второй через . Допустим, что в первой совокупности произведено испытаний (извлечена выборка объема ), причем событие A наблюдалось раз. Следовательно, относительная частота появления события в первой совокупности

.

Допустим, что во второй совокупности произведено , испытаний (извлечена выборка объема ,), причем событие A наблюдалось , раз. Следовательно, относительная частота появления события во второй совокупности

.

Примем наблюдавшиеся относительные частоты в качестве оценок неизвестных вероятностей появления события A: , Требуется при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что вероятности и , равны между собой: .

Заметим, что, поскольку вероятности оцениваются по относительным частотам, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо различаются относительные частоты и .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Величина U при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально о параметрами и . Вероятность нам неизвестна, поэтому заменим ее оценкой наибольшего правдоподобия: ; кроме того, заменим случайные величины и , их возможными значениями и , полученными в испытаниях. В итоге получим рабочую формулу для вычисления наблюдаемого значения критерия;

.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющих биномиальные распределения) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку правосторонней критической области по равенству .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе , находят критическую точку по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.