1.1. Канонические и параметрические уравнения прямой

В декартовой системе координат уравнения прямой, проходящей через точку и имеющий направляющий вектор, будут

. (4.1)

Эти уравнения называют каноническими уравнениями прямой в трехмерном пространстве или в параметрической форме

. (4.2)

Действительно, пусть – произвольная точка; она лежит на прямой, проходящей через точкуМ₀, коллинеарной векторутогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

.

Так как , то необходимое и достаточное условие коллинеарности векторовиможно записать еще и так:

(вектора пропорциональны),

или

, (4.3)

откуда сразу получаются уравнения (4.2).

В уравнениях (4.1) одно или два числа из чисел могут быть равными нулю. Одновременно все три числане могут обращаться в нуль, так как. Будем считать, что если один из знаменателей уравнения (4.1) обращается в нуль, то соответствующий числитель обращается также в нуль. Например, отношениеозначает, чтоили, т.е. оно определяет плоскость, перпендикулярную к осиОх.

Если , то направляющий векторперпендикулярен к оси абсцисс. Тогда уравнения

определяют прямую, перпендикулярную к оси Ох.

Аналогично уравнения, в которых или, определяют соответственно прямые, перпендикулярные к осямOy и Oz. Если, или, или, то уравнения (4.1) определяют прямые, параллельные соответственно координатным осямOz, Oy, Ox..

Канонические и параметрические уравнения прямой в трехмерном пространстве можно записать и в векторной форме. Для этого введем радиус-вектор точкии радиус-векторточки. Тогда, в силу коллинеарности векторови, их векторное произведение равно нуль-вектору

(4.4)

а уравнение (4.3) принимает вид

или. (4.5)

В координатном выражении уравнение (4.4) принимает вид уравнений (4.1) и поэтому оно называется каноническим уравнением прямой в векторной форме, а уравнение (4.5) – вид уравнений (4.2) и называетсяуравнением прямой в трехмерном пространстве в векторно-параметрической форме.