Свойство равномерно сходящихся рядов

Если в предыдущих предположениях рассматривали как частичную сумму ряда (1) тогда когда будет суммой всего ряда и можно записать аналогичные свойства для равномерно сходящихся функциональных рядов.

Свойство 1: Если члены ряда(1) непрерывной на функции и ряд сходятся равномерно, то его сумма есть непрерывная функция на .

Свойство 2: Если члены ряда (1) непрерывной на интервале функции и ряд сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать между любыми пределами , лежащими в , т.е.

(2).

Если пределы интегрирования переменные, например, , то ряд полученный почленным интегрированием ряда(1)

(3) также равномерно сходится на .

Свойство 3: Если ряд (1) сходится на и его члены имеют непрерывные на производные. Причем ряд, составленных производных сходится равномерно на , то и заданный ряд (1) сходится равномерно и его можно почленно дифференцировать.

.

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда.