Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции , который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), а X и Y коррелированны, т. е. связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированны, т. е. не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Величина при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид критическая область – двусторонняя.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правил проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия: и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку для двусторонней критической области.

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.