Вопрос 39. Комплексные числа.

z= x+yi – алгебраическая форма записи комплексного числа, где x – действительная часть к.ч., y – мнимая часть к.ч.

i – мнимая единица

i²= -1 ; i=

|z|= – расстояние от 0 до z

z с чёрточкой = x-iy (сопряжённое данному к.ч.)

Если z=0 => x и y тоже =0

Операции с к.ч.

+,-,*,/

Как в алгебре (не забывать, что i*i= -1)

Аргумент к.ч. определён не однозначно, а с точностью 2πk, k пр. Z

Argz=argфи+2πk, k пр.Z

x=2cosфи

y=2sinфи

z=x+iy

z=r(cosфи+isinфи)

r|z|=

Деление/умножение к.ч.

z₁=r₁(cosфи₁+isinфи₁)

z₂=r₂(cosфи₂+isinфи₂)

z₁*z₂= r₁r₂(cosфи₁+isinфи₁)(cosфи₂+isinфи₂)=

= r₁r₂(cos(фи₁+фи₂)+isin(фи₁+фи₂))

= (cos(фи₁-фи₂)+isin(фи₁-фи₂))

zⁿ= rⁿ(cosnфи+isinnфи)

Формула для корня к.ч.

w= ó wⁿ=z

z= r(cos(фи+2πk)+isin(фи+2πk))

w= ρ(cosпси+isinпси)

ρⁿ(cosnпси+isinnпси)=

=r(cos(фи+2πk)+isin(фи+2πk))

ρⁿ = r ó ρ =

nпси=фи+2πk ó пси= (фи+2πk)/n

пси_n=(фи+2π(n-1)/n

w_n= (cos +isin )

Показательная форма. Формула Эйлера.

e^iфи= cosфи+isinфи

cosфи= (e^iфи+ e^-iфи)/2

sinфи= (e^iфи- e^-iфи)/2

z= x+yi

e^z=e^x+yi=e^x * e^iy = e^x(cosфи+isinфи)

* = * =

= (cosy₁+isiny₁)* (cosy₂+isiny₂)=

= * =

=

= e^z * e^2πi=e^z(cos2π+isin2π)=e^z

т.о., e^z является периодичной функцией с периодом 2πi