3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.

Озн.1. Бінарної операцією на множині А називається відповідність, яка кожній впорядкованій парі елементів а,bА співставляє лише один елемент с цієї ж множини А.

Бінарну операцію будемо позначати с=а*b. Як правило в математиці бінарні операції називають додаванням та множенням.

Озн. 2. Множина G, в якій введена одна бінарна операція, відносно якої виконується три вимоги:

1) ( а, b, с)((а*b)*с=а*(b*с));

2) ( е)( а)(а*е=а) (елемент е називається правим нейтральним елементом);

3) ( а)( а^-1)(а*а^-1=е) (елемент а^-1 називається правим оберненим елементом). називається групою.

Приклади.

1. Множина неособливих матриць n-го порядку є є групою відносно операції множення матриць.

2. Множина парних чисел відносно операції додавання.

3. Множина цілих чисел відносно операції додавання.

4. Сукупність перетворень повороту площини навколо нерухомої точки відносно операції множення поворотів.

Доведення проводяться безпосередньо перевіркою вимог групи.

Якщо бінарну операцію називають додаванням, то елемент е називають нулем і позначають , а елемент а^-1 називають протилежним і позначають – а, а саму групу адитивною. Якщо бінарну операцію називають множенням, то елемент е називають одиничним, а елемент а^-1 називають оберненим до а, а саму групу – мультиплікативною.

Кількість елементів скінченої групи називають порядком групи. Якщо бінарна операція є комутативною, то групу називають комутативною або абелевою.

З означення групи випливають такі основні властивості.

Вл. 1. Кожний правий обернений елемент є одночасно і лівим оберненим елементом.

Дов.. Нехай а^-1 є правим оберненим елементом, тобто а*а^-1=е. Виконаємо бінарну операцію зліва з елементом лівої та правої частини.

Одержимо а^-1*(а*а^-1)=а^-1*е або а^-1*(а*а^-1)=а^-1. Позначимо правий елемент до елемента а^-1 через b. Виконаємо бінарну операцію справа з елементом b в останній рівності. Одержимо (а^-1*(а*а^-1))*b= а^-1*b або (а^-1*а)*(а^-1*b)=е.

Звідси слідує а^-1*а=е.

Вл. 2. Правий нейтральний елемент групи є одночасно лівим нейтральним елементів.

Дов. Задано, що а*а^-1=е. Виконаємо бінарну операцію з елементом а справа. Одержимо (а*а^-1)*а=е*а. Згідно властивості 1 маємо а*(а^-1*а)=е*а або а*е=е*а.

Властивість 3. Нейтральний елемент в групі єдиний.

Доведення. Припустимо від супротивного, що в групі є два різні нейтральні елементи е₁ і е₂.

Тоді Що і треба було довести.

Аналогічно доводяться: Вл.4. ( а,b) ( x)(а*х=b) Вл. 5. ( а,b) ((а*b)^-1=b^-1*а^-1) Вл.6. Кожний елемент а має єдиний обернений елемент а^-1.