Вопрос 3. Замечательные пределы.

1)

Пусть x (0;π/2). OC=1, AB=sinx, CD=tgx.

ΔOAC<сектораOAC<ΔODC.

S_ΔAOC=1/2AB*OC=1/2sinx

S_сект=1/2R* COA=1/2x

S_ΔODC=1/2DC*OC=1/2tgx

ΔOAC<сектораOAC<ΔODC, =>,

1/2sinx <1/2x <1/2tgx, =>, sinx<x<tgx

x≠0 1<x/sinx<1/cosx, =>, cosx<sinx/x<1

Поскольку , то .

2)

U_n= . U₁=2. U₂=9/4. U₃=64/27

Последовательность возрастает, и она ограничена 3. Предел = e.

3)