Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)

Ранее выборки предполагались независимыми. Рассмотрим выборки одинакового объема, варианты которых попарно зависимы. Например, если – результаты измерений первым прибором (способом), а ,—результаты измерений той же величины, произведенные в том же порядке вторым прибором (способом), то X и Y попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые. Поскольку, как правило, , то возникает необходимость установить, значимо или незначимо различаются пары этих чисел.

Аналогичная задача ставится при сравнении двух методов исследования, или если исследование произведено одним и тем же методом двумя различными исследователями.

Итак, пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе по двум зависимым выборкам одинакового объема.

Сведем эту задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней.

С этой целью введем в рассмотренные случайные величины – разности и их среднюю .

Если нулевая гипотеза справедлива, то . Таким образом, нулевую гипотезу можно записать так: . Тогда конкурирующая гипотеза примет вид .

Наблюдаемые неслучайные разности будем обозначать через в отличие от случайных разностей . Аналогично выборочную среднюю этих разностей обозначим через в отличие от случайной величины .

Итак, задача сравнения двух средних сведена к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней . Эта задача решена ранее, поэтому приведем лишь правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

,

где

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , и по числу степеней свободы найти критическую точку .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.