6.2. Подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел

1. У доведенні теореми про подільність суми є таке перетворення: . Поясніть: 1) на основі якого теоретичного факту є можливим винесення числа n за дужки; 2) чому сума є цілим невід’ємним числом.

2. Доведіть теорему про подільність суми для:

1) трьох доданків; 2) m доданків.

3. Доведіть теорему про подільність різниці цілих невід’ємних чисел на натуральне число.

4. Доведіть, що: 1) якщо і , то ; 2) якщо і , то .

5. Відомо, що а не кратне n і b не кратне n. Чи правильно, що: 1) не кратне n; 2) не кратне n?

6. Не виконуючи додавання, встановіть, чи ділиться значення виразу на 3: 1) 180+144; 2) 720+308; 3) 103+370.

7. Не виконуючи віднімання, вкажіть вирази, значення яких ділиться на 5: 1) 535-413; 2) 1215-470; 3) 20 147-1 307.

8. Не виконуючи обчислень, встановіть, чи буде добуток ділиться на 5, 8, 9, 10, 18, 45.

9. Якщо до двоцифрового числа додати число, записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку, то сума буде кратна 11. Доведіть це.

10. Доведіть чи спростуйте наступні висловлення:

1) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була парним числом, необхідно, щоб кожний доданок був парним числом;

2) З того, що сума двох натуральних чисел парна, слідує, що обидва доданки також парні;

3) З того, що числа a і b непарні, слідує, що їх сума - число парне;

4) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була непарним числом, достатньо, щоб одне з них було парним, а інше – непарним.

11. Відомо, що а – парне натуральне число, b – непарне і a > b. Яким числом буде різниця чисел a і b? Висловлене припущення доведіть.

12. Чи кратна числу 4 сума двох послідовних: 1) парних чисел; 2) непарних чисел?

13. Доведіть способом повної індукції, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3.

14. Доведіть, що квадрат непарного натурального числа при діленні на 8 дає остачу 1.

15. Доведіть, що сума квадратів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 4 дає остачу 1.

16. Доведіть, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на 8.