3.2. Відношення еквівалентності

1. Х – множина прямих площини. Яке з наступних відношень є відношенням еквівалентності на цій множні:

1) « х паралельне у»; 2) «х перпендикулярне у»; 3) «х перетинає у»?

2. На множині Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано відношення «мати один і той самий залишок при діленні на 3». Покажіть, що дане відношення є відношення еквівалентності, і запишіть всі класи еквівалентності, на які розбивається множина Х. Скільки таких класів вийшло?

3. Скільки класів еквівалентності визначає на множині Х (див. задачу 2) відношення «мати один і той самий залишок при діленні на 4»? Запишіть ці класи. Назвіть по одному представнику кожного класу.

4. На множині М прямокутників (рис.11) задано відношення рівновеликості. Покажіть, що воно є відношенням еквівалентності, і назвіть класи, на які розіб’ється множина М за допомогою цього відношення.

Рис. 11

5. Чи можна розбити множину Х = {7 – 3; 2²; 5· 2; 60 : 6; 1 + 3; 0 : 4;

0 · 10; 4 : (10 – 10)} на класи за допомогою відношення «мати рівні значення»?

6. Поясніть, чому відношення рівності відрізків є відношенням еквівалентності, а відношення «коротше» не є відношенням еквівалентності.

7. На множині Х = {213, 37, 21, 87, 82} задано відношення Р – «мати у записі однакові цифри». Чи є Р відношенням еквівалентності?

8. Відношення Т – «мати одне і те саме число дільників» задано на множині {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Покажіть, що Т – відношення еквівалентності, і запишіть всі класи еквівалентності.

9. На множині цілих чисел від 0 до 999 задано відношення R – «мати в записі одну і ту ж кількість цифр». Покажіть, що R – відношення еквівалентності. На скільки класів воно розбиває дану множину чисел? Назвіть найменший і найбільший елементи кожного класу розбиття.

10. Скільки класів еквівалентності визначається на множині натуральних чисел відношення «закінчується одною і тою ж цифрою»? Назвіть по одному представнику кожного класу.