Признак Вейерштрасса

Ряд функций, определенных на , сходится равномерно на этом интервале, если можно указать последовательность положительных чисел такую, что для всех Х из будет выполняется неравенство и ряд из положительных членов сходится, . В этом случае говорят, что функциональный ряд мажорирует.

Доказательство: Для доказательства признака Вейерштрасса достаточно показать, что в этом случае выполняется признак Коши, равномерной сходимости ряда, т.е. для любого положительного числа можно указать номер , такой что для всех , всех натуральных р и всех точек , выполняется неравенство.

(***)

Поскольку ряд из положительных членов сходится, то для можно указать номер N, что для всех будет выполняться неравенство: . В силу неравенства (*) из (**) вытекает (***).

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд вида:

n-ный член ; .

- сходится, а это означает, что сходится равномерно и выписанный функциональный ряд.

, является неопределенной функцией.