Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

1. Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально, причем генеральная средний a хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению a₀. Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (по большой выборке можно получить достаточно хорошую оценку дисперсии).

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней a гипотетическому значению a₀.

Учитывая, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, нулевую гипотезу можно записать так: .

Таким образом, требуется проверить, что математическое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы , .

Поскольку здесь критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, так же как и ранее, ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы, обозначив значение критерия U, вычисленное по данным наблюдений, через U_набл.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней a нормальной совокупности с известной дисперсией гипотетическому значению a, при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2, При конкурирующей гипотезе критическую точку правосторонней критической области находят по равенству .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе сначала находят критическую точку по правилу , а затем полагают границу левосторонней критической области .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину , где S – “исправленное” среднеквадратическое отклонение. Величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Поскольку это делается так, как описано выше, ограничимся правилами проверки нулевой гипотезы.

Правило 1.Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия: и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , и числу степеней свободы найти критическую точку .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе , по уровню значимости , и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области.

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе , сначала находят “вспомогательную” критическую точку и полагают границу левосторонней критической области .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.