Геометрический смысл системы уравнений первого порядка

Рассмотрим случай системы из 2-уравнений первого порядка с двумя неизвестными функция

Если эту систему удастся решить относительно то она принимает нормальную форму:

Решением системы (1),(1”) называется пара функций (2) обращающая оба уравнения в тождества, поскольку система (1’) равносильна одному уравнению второго порядка , то общее решение системы содержит 2 постоянные:

Система уравнений (1) и её решения (2) имеют простой геометрический смысл.

Рассмотрим трехмерное пространство Тогда формула (2) определяет некоторую линию в параметрическом виде, причем в роли параметра выступает переменная x.

Обозначим Уравнение линии можно записать в виде:

Линия (2),(2’) назовется интегральной линией системы уравнений (1’)

Если для произвольной точки M подсчитать значение правых частей системы (1’), то мы будем знать направление касательных к линиям и к проецированием интегральной линией

Следовательно, система (1’) задает нам направление в пространстве

Интегральная линия – это линия в каждой своей точке идущая вдоль ‘поля’ т.е. линия в которой точке, которой касательная имеет направление, заданная этим полем.

В системе (1’) переменные равноправны, переменная x имеет иное значение. В некоторых случаях все три переменные равноправны, так что любую из них можно принять за зависимую: тогда систему уравнений предлагается записать в симметричной форме:

(3)

От системы (3) можно перейти к системе (1’) и наоборот:

Геометрический смысл системы (3) аналогичен описанному ранее.

Вектор в любой заданной точке М(x,y,z) в силу соотношения (3) должен быть параллелен вектору

Таким образом задача об интегрировании (3) – это задача о построении линии в пространстве имеющей в каждой своей точке заданное направление .

Для однозначного определения интегральной линии надо задать точку в пространстве, через которую эта линия должна пройти. Другими словами. Начальное условие однозначно определяет решение системы (1’)