Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами

Теорема: Если предел от n-го члена ряда вида , то если l<1 то ряд сходиться, l>1- расходиться.

Доказательство:

Пусть l<1 выдержим число q в l<q<1 зафиксируем в качестве положительную величину q-l согласно определению предела для заданной величины найдется номер N что для всех будет выполнить неравенство:

В силу правого неравенства получаем:

Получаем что

Для нумеровки , то есть можем записать последовательность неравенств:

Наряду с исходными рядами выпишем вспомогательный ряд,

Заметим, что вспомогательный ряд – геометрическая прогрессия со значением вспомогательный ряд сходится, а начиная с номера N члены искомого ряда не больше соотносящихся членов вспомогательного ряда, то есть – заключаем, что при l<1 исходный ряд сходится. Докажем вторую часть теоремы. Пусть l>1 - положительная величина. , согласно определению предела для заданной найдется номер N такой что для всех

Запишем в эквивалентной форме Левую часть неравенства можно переписать в виде (5)

Переходя в неравенстве (5) к пределу при . Откуда в силу необходимости признака сходимости сходимости ряда расходимость рассматриваемого ряда.

Пример:

Используя радикальный признак Коши видим, что n-й член равен

Согласно признаку Каши, ряд сходиться.