Вопрос 27. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.

Пусть интегрируема и непрерывна на , непрерывна и дифференцируема на , причем и , тогда

Док-во. Пусть некоторая первообразная для ,

тогда — первообразная для функции .

Действительно,

По формуле Ньютона-Лейбница, левая часть = , правая часть = , т.к. и , то левая часть равна правой части.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Док-во. Функция является первообразной для функции , действительно,

Следовательно — формула Ньютона-Лейбница, или

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.

Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x): . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения , или .

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) .

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ): . Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных ( ): . Примеры: .

.

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде :

.