Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

Наиболее общий тип обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка можно записать в виде:

(1) , где x - независимая переменная, y - искомая функция от x, y’ - производная. F - некоторая функция от трех переменных.

определённая на интервале называется решением дифференциального уравнения (1), если оно обращает уравнение (1) в тождество для всех значений х, из указанного интервала. Интервал называется интервалом определенного решения. Если уравнение (1) разрешимо относительно производной, то его можно записать в виде: (2) Уравнение (2) называется уравнением, разрешенным относительно производной. Для использования наглядных геометрических иллюстраций входит в рассмотрение плоскость XY, на которой выделяют область Г, т.е. область определения функции

П ри этом каждое решение дифференциального уравнения изображается кривой принадлежащей области Г, уравнение которой . Кривые удовлетворяющие дифференциальному уравнению первого порядка и изображенные в области Г, называются интегральными кривыми дифференциального уравнения. Используя дифференциальное уравнение (2) в каждой точке области Г можно сопоставить направленный отрезок .

Таким образом в области Г, существует некоторое поле направления. С точки зрения поля направления решить дифференциальное уравнение означает построить кривую, в каждой точке которой касательная совпадает с выбранным полем направления, таким образом можно построить приближенное решение дифференциального уравнения.

Определение:

Линии, в точках которых направление направленных отрезков совпадает, называется изоклинами.

С помощью изоклин можно построить приближенное решение дифференциального уравнения. Семейство изоклин (2) описывается выражением . Изменяя величину параметра k с некоторым шагом, получим множество изоклин. Таким образом строится поле направлений, соответствующее дифференциального уравнения (2).

Пример:

Рассмотрим уравнение .

Семейство изоклин это уравнения будет иметь вид: , видим, что семейство изоклин состоит из семейства окружности с центром в начале координат и радиусом .

С приведенного примера замечаем, что каждому дифференциальному уравнению соответствует множество решений. Единственное решение обычно выделяют, задаваясь точкой, через которую проходит интегральная кривая. Задача определения решения дифференциального уравнения (2), проходящего через точку называется задачей Каши.