2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.

Озн. Непорожня множина N, в якій для деяких елементів а і b існує відношення порядку “b слідує безпосередньо з а” і яке задовільняє такі аксіоми:

1) існує елемент е (одиниця), який не слідує безпосередньо за жодним іншим елементом;

2) для кожного елемента а існує і при тому лише один елемент - a, який слідує безпосередньо за а;

3) будь-який елемент, крім е, безпосередньо слідує за одним і тільки одним елементом;

4) якщо множина N має такі властивості:

а) еN;

б) якщо аN, то й aN,

то вона містить усі свої елементи, називається множиною натуральних чисел, а самі елементи множини N називаються натуральними числами. Очевидно, що множина чисел 1, 2, 3, …, які ми інтуїтивно засвоїмо в школі, задовольняють вимогам аксіоми Пеано.

Особлива роль належить четвертій аксіомі, бо вона є формально-логічною основою для доведення методом математичної індукції. На практиці аксіому 4 (її називають ще аксіомою індукції) використовують у формі принципу повної математичної індукції.

Т. 1. Якщо твердження Т, що містить натуральне число n, істине при n=1 і із істинності Т при n випливає його істинність при n+1, то воно істинне для всіх натуральних чисел. Дов.. Позначимо через N множину натуральних чисел, для яких твердження Т істинне. Тоді 1N, бо для n=1 твердження Т доведено. Нехай nN, тобто твердження т істинне для n. Тоді nN, бо за теоремою, якщо Т істинне для n, то воно буде істинне і для n. Згідно з аксіомою 4 множина N збігається з множиною всіх натуральних чисел, тобто Т істинне для всіх натуральних чисел.

В багатьох випадках використовують інші форми принципу повної математичної індукції.

Т. 2. Якщо про деяке твердження Т відомо, що воно істинне для деякого натурального числа n і з припущенням, що Т істинне для натурального числа mn випливає, що воно істинне для m, тоді Т істинне для всіх натуральних чисел mn.

Т. 3. Якщо про деяке твердження відомо, що воно істинне при n=1 і з припущення, що Т істинне для всіх натуральних менших n(n1) випливає, що воно істинне для n, то Т істинне для всіх натуральних чисел.

Т.4. Якщо твердження Т істинне при к1 і з того, що воно істинне для всіх кmn випливає, що воно істинне для n, то твердження Т істинне для будь-якого числа ак.