Вопрос 2 Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку a, всюду, кроме, может быть, самой этой точки a.

Определение 1: число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если значения функции f(x) сколь угодно близки к числу A для всех значений x, достаточно близких к точке a.

Определение 2: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε>0 найдётся Δ>0 такое, что для 0<|x-a|<Δ выполняется |f(x)-a|< ε.

Определение 3: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если |f(x)-A|< ε для x, лежащих в достаточно малой Δ-окрестности точки a.

Свойства пределов функции.

Будем говорить, что функция y=f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x=a, если существует такое M>0, что в этой окрестности |f(x)| не превосходит M.

Свойства:

1) Если функция y=f(x) имеет в точке a предел, равный A, тогда функция y=f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Если f(x)→A при x→a, то |f(x)-A|≤ ε в некоторой окрестности точка a, но тогда по свойству модуля |f(x)|-|A|<|f(x)-A| => |f(x)|≤|f(x)-A|, т.е., f(x) ограничена.

2) Если f(x)→A при x→a, а g(x)→B при x→a, то предел (f(x)+g(x)) при x→a равен A+B.

3) Если , то предел произведения равен произведению пределов.

4) Если и B≠0, то частное пределов равно пределу частного.

5) Если в окрестности точки a f(x)≥0 и существует , то A≥0.

Док-во – методом от противного: если A<0, то, поскольку значения f(x) должны быть сколь угодно близки к A, они тоже будут <0, что противоречит условию.

6) Если в некоторой окрестности точки a f(x)≤g(x) и , то A≤B.

Док-во: пусть h(x)=g(x)-f(x). B-A,

следовательно, B-A≥0, следовательно, B≥A.

7) Теорема о двух милиционерах.

Если в некоторой окрестности точки a f(x)≤h(x)≤g(x) и если то