6.1. Условие пересечения двух плоскостей и угол между ними

Теорема.Для того, чтобы плоскости, заданные уравнениями (3.12) и (3.13) в декартовой прямоугольной системе координат, пересекались, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты приx, y, zв уравнениях (3.12) и (3.13) не были пропорциональны или чтобы хотя бы один из определителей

(3.14)

был отличен от нуля.

Доказательство. Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей является неколлинеарность их нормальных векторови. Вектора жеинеколлинеарны тогда и только тогда, когда непропорциональны их соответствующие координаты (кн.2, гл.4, §3, п.3.3), т.е. когда хотя бы один из определителей (3.14) отличен от нуля. Например,

означает, что;

означает, что.

Найдем угол между пересекающимися плоскостями. Под этим углом мы будем понимать один из смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Пусть угол между данными плоскостями φ. Тогда угол между нормальными векторами этих плоскостейитакже будет равенφили. Уголφнайдем по формуле скалярного произведения двух векторови:

. (3.15)

Положив в этой формуле , получимусловие перпендикулярности плоскостей:

.